SISTEMAS CAÓTICOS. EL EFECTO MARIPOSA

 

Autor: Ferrarini Hernán Daniel

Filiación: Departamento de Matemática. Facultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas.

E-Mail: hferrarini@yahoo.com.ar.

Carácter: Ayudante de Segunda

Director: Lic. Gloria Elida Moretto

Otros integrantes del proyecto: Ing. Lina Mónica María Oviedo

 

Todo fenómeno natural es una manifestación del cambio. Algunos cambios son simples: el cambio de las estaciones, el flujo y reflujo de las mareas; otros parecen más complicados, las recesiones económicas, las condiciones meteorológicas.

Es de importancia la necesidad de entender el mundo cambiante en que vivimos. Para hacer esto de manera eficaz debemos ser sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones ocultos en los eventos que a primera vista parecen no tenerlos.

Con las matemáticas construimos universos modelos y los descomponemos para investigar la forma en que operan, resaltando sus rasgos estructurales importantes. En matemática los sistemas dinámicos son básicos para analizar cambios.

Un sistema dinámico es un sistema que cambia con el tiempo. Consiste en un conjunto de variables (dependientes del tiempo), más una regla que permite determinar (sin ambigüedades) el estado del sistema.

Los sistemas dinámicos y modelos lineales, se han utilizado para describir y modelar la dinámica de muchos sistemas físicos, químicos, etc. Sin embargo, los sistemas no lineales pueden presentar dinámicas muy complejas (caos determinista) que no pueden aproximarse mediante modelos lineales. El objetivo de la teoría de los sistemas dinámicos es el estudio del comportamiento a largo plazo o comportamiento asintótico de un sistema que depende del tiempo.

Partimos del modelo poblacional que describe la Ecuación Logística dP/dt=k.P(t).(1-P(t)/M) donde t es variable continua. Pero si la velocidad de reproducción no es alta, la hipótesis de cambio continuo de la población no es apropiada, siendo mas adecuado tomar la variable t como discreta, con lo cual obtenemos un sistema dinámico discreto modelado por P_n+1=k.P_n.(1-P_n/M) donde M es el parámetro de aniquilación (nivel de población máximo), P_n es la población y k es un parámetro que mide el grado de vitalidad de crecimiento de la población. Si suponemos que M=1 y que P_n representa el porcentaje o fracción de la población máxima viva en la generación n, P_n se encuentra en el intervalo [0,1] y el modelo toma la forma P_n+1=k.P_n.(1-P_n) que es una ecuación en diferencias.

Nosotros trabajamos sobre esta ecuación haciendo un estudio de cómo los cambios en el valor k, generan comportamientos muy diferentes en el sistema. El análisis de los resultados para distintos valores de k en el intervalo [0,4] y para P_n en el intervalo [0,1], permitió mostrar como el sistema pasa de un comportamiento que puede predecirse, siguiendo patrones que hemos analizado, hasta llegar a valores de k donde no hay ningún patrón aparente para poblaciones sucesivas; se desata el caos. Cuando k toma valores dentro del intervalo [0,1] para cualquier valor inicial de la población en el intervalo de trabajo la población se extingue; para k en el intervalo (1,3) se observa que para cualquier valor de población inicial las poblaciones en años sucesivos tienden a un valor fijo que depende de k, éste es (k-1)/k; para valores de k entre 3 y 3,57 se producen oscilaciones con período 2, 4, 8, 16, dependiendo del valor de k y para valores de k > 3,57 ya no se observa periodicidad alguna, se desata el llamado caos determinístico.

A continuación se presentan las gráficas de series de tiempo para un valor de k perteneciente a cada uno de los intervalos analizados.

 

P_n+1=k.P_n.(1-P_n) k=0.8 Po=0.2 intervalo [0,1]

 

P_n+1=k.P_n.(1-P_n) k=2.8 Po=0.2 intervalo (1,3)

 

P_n+1=k.P_n.(1-P_n) k=3.2 Po=0.2 intervalo [3;3,57]

 

 

P_n+1=k.P_n.(1-P_n) k=4 Po=0.2 intervalo k>3,57

 

A través de este trabajo analizamos la evolución de un modelo poblacional discreto, y la presencia de comportamiento caótico en un sistema relativamente simple; otro elemento importante de nuestro análisis fue la dependencia sensible respecto a las condiciones iniciales y variación de parámetros del comportamiento caótico: “EFECTO MARIPOSA”.

 

Bibliografía:

Devaney, R. (1989). An introduction to Chaotic Dynamical Systems. Ed Addison-Wesley. New York

Blanchard, P; Devaney, R; Hall, G. (1998). Ecuaciones Diferenciales. Ed Internacional Thomson. México

Boyce, W; DiPrima, R. (2001) Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Ed Limusa Wiley. México